科学网刘瑞祥：从七巧板说到面积

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　　七巧板，被外国人称为“唐图（tangram）”，是许多儿童喜爱的玩具，也曾经伴随过拿破仑等名人。从数学的角度看，七巧板也有不少学问，本文就来聊聊七巧板中体现的面积思想。

　　我们知道，一般的七巧板拼图，无论图形怎样千变万化，必须使用全部七块板子，而且不能有重叠部分。显然，所有这些图形之间，面积都是相等的。这个结论虽然看起来是很显然的，但其实我们默认了一系列前提：图形经过平移、旋转、翻转保持不变；彼此全等的图形面积相等；面积具有可加性……这些前提有的并不那么显然。比如，你怎么知道图形经过翻转保持不变？你怎么知道面积可以相加？这样追问下去就触及到了几何学的基础问题，限于篇幅和本人能力，无法展开叙述了。好在这些前提的含义都很明显，至少看上去是没有什么问题的，下面让我们还是先承认这些前提吧——或者用更数学味的话来说，把这些当做公理。

　　当我们承认这些前提的时候，我们就会发现，即使我们还没有面积公式，也可以证明七巧板拼出的所有图形面积是相等的。这是因为，所有这些拼得的图形，都可以划分为同样多的两组全等形。这样我们就触及到了面积理论中的一个重要概念——剖分相等。像七巧板拼图这样，两个面积相等的图形，如果能够把其中一个分成有限的几部分后重新拼成另外一个图形，就称这两个图形面积剖分相等。

　　你应该已经会把一个长宽比为 2:1 的长方形切割后拼成一个大正方形，但如果让你用七巧板实现这个变化呢？前提是不许割裂七块板子中的任意一块。这个问题其实很简单，甚至解法不止一种。

　　如果你想证明七巧板中的正方形和平行四边形面积相等，你同样不必把这两块板子真的剖开，因为幸运的是我们有两个最小的等腰三角形可以利用：

　　让我们再看另外一种证明：下面图形中，左边是正方形加上等腰直角三角形，右边图是平行四边形加上同样的三角形，最后得到的是两个大的全等形，因此我们可以判定，这里的正方形和平行四边形面积相等。显然，这里我们是在原图形的基础上分别加上同样（有限）多的两组全等形之后变成大的全等形。像这样的面积相等，就叫做拼补相等。

　　我们利用剖分相等和拼补相等两种方法证明了前面的平行四边形和正方形面积相等，下面让我们离开七巧板，回到通常的数学上来。你还记得你的数学老师是怎么给出平行四边形面积公式的吗？是不是像下面左边图示一样？很遗憾，这个证明是不严谨的，它无法证明下面右边这种情况。换句话说，我们数学课上只证明了一部分平行四边形和等底等高的矩形面积剖分相等。因此对于一般情况下面积的证明，需要另辟蹊径，这让我们想到了拼补相等的概念。

　　下面图中给平行四边形ABCD和BCFE分别加上一个三角形DEG，然后通过证明ABE和DCF全等得到阴影所表示的两个梯形面积相等，再分别加上三角形 ，最终得到结论——等底等高的平行四边形面积相等。这里的每个平行四边形都加上一个三角形再分成两个三角形，从而得到两组的全等三角形。这就是两千多年前欧几里得在《几何原本》第一卷第35命题中的证明方法和结论。

　　剖分相等和拼补相等这两个概念，并不是很久远的东西。1899 年著名数学家希尔伯特在其名著《几何基础》中才明确了这两个概念，并且证明了下面的结论：任何两个面积相等的（直线型）图形，一定拼补相等，也一定剖分相等。这比《几何原本》两千多年的历史来根本不算什么——甚至远在微积分诞生之后了。

　　把面积相等分为“拼补相等”和“剖分相等”，并不是数学家没事找事。首先来说，后者的成立理由比前者要麻烦一点，因为它还需要一条公理作为前提——任给两条线段，总存在一个正整数n，使得短线段重复 n次以后可以超过长线段。据说这一公理是古希腊数学家欧多克斯首先提出的，后来阿基米德再次提出，因此也被称为欧多克斯-阿基米德公理或者阿基米德公理。另外，希尔伯特的弟子德恩曾经证明：一般情况下，即使是体积相等的两个三棱锥，也可能既不是剖分相等的，也不是拼补相等的。因此体积公式的推导，必须使用某种无限过程，这在古希腊表现为所谓的穷竭法，在古代中国表现为祖暅原理，在近代以后则表现为微积分。而德恩的这个结论，却是连高斯和希尔伯特都没有得出的，虽然一般认为他们的学术地位要比德恩高。所谓长江后浪推前浪，岂虚言哉。

　　本文部分资料来自网络，并得到蒋迅老师的帮助，特此感谢。

参考资料

１.《几何原本》，欧几里得著，兰纪正、朱恩宽译，译林出版社，2014；

２.《几何基础》，希尔伯特著，江泽涵、朱鼎勋译，北京大学出版社，2009；

３.《从赵爽弦图谈起》，李文林著，高等教育出版社，2005。